Google
Câu hỏi: Cho 3 vật dao động điều hòa lần lượt có biên độ ${{A}_{1}}=5\sqrt{2}$ cm;
${{A}_{2}}=10\sqrt{2}$ cm ; ${{A}_{3}}=10$ cm và tần số ${{f}_{1}};{{f}_{2}};{{f}_{3}}.$ Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ bằng biểu thức $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2~}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}$. Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng những đoạn lần lượt là 4 cm; 8 cm và ${{x}_{0}}$. Giá trị của ${{x}_{0}}$ gần giá trịnào nhất sau đây?
A. 8 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
${{A}_{2}}=10\sqrt{2}$ cm ; ${{A}_{3}}=10$ cm và tần số ${{f}_{1}};{{f}_{2}};{{f}_{3}}.$ Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ bằng biểu thức $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2~}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}$. Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng những đoạn lần lượt là 4 cm; 8 cm và ${{x}_{0}}$. Giá trị của ${{x}_{0}}$ gần giá trịnào nhất sau đây?
A. 8 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết đạo hàm Công thức độc lập với thời gian: ${{x}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{v}^{2}}={{A}^{2}}{{\omega }^{2}}$
Cách giải:
Ta có: ${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{'}}=\dfrac{x'.v-xv'}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{v}^{2}}-x.a}{{{v}^{2}}}$
Chú ý: $\Rightarrow ~a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow {{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{'}}=\dfrac{{{v}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{{{v}^{2}}}=1+\dfrac{{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{{{v}^{2}}}$
Công thức độc lập với thời gian:
${{\omega }^{2}}{{x}^{2}}+{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\Rightarrow {{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}}~ \right)~\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{v~}=1+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}~$
Theo đề bài ta có:
$\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}} \right)}^{'}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{'}}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{'}}$
$\Rightarrow 1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}+1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}=1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}~$
$\Rightarrow 1+\dfrac{{{4}^{2}}}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{4}^{2}}}+1+\dfrac{{{8}^{2}}}{{{\left( 10\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{8}^{2}}}=1+\dfrac{x_{3}^{2}}{{{10}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow {{x}_{3}}=8,124\left( cm \right)$
Sử dụng lý thuyết đạo hàm Công thức độc lập với thời gian: ${{x}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{v}^{2}}={{A}^{2}}{{\omega }^{2}}$
Cách giải:
Ta có: ${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{'}}=\dfrac{x'.v-xv'}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{v}^{2}}-x.a}{{{v}^{2}}}$
Chú ý: $\Rightarrow ~a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow {{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{'}}=\dfrac{{{v}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{{{v}^{2}}}=1+\dfrac{{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{{{v}^{2}}}$
Công thức độc lập với thời gian:
${{\omega }^{2}}{{x}^{2}}+{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\Rightarrow {{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}}~ \right)~\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{v~}=1+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}~$
Theo đề bài ta có:
$\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}} \right)}^{'}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{'}}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{'}}$
$\Rightarrow 1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}+1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}=1+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}~}~$
$\Rightarrow 1+\dfrac{{{4}^{2}}}{{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{4}^{2}}}+1+\dfrac{{{8}^{2}}}{{{\left( 10\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{8}^{2}}}=1+\dfrac{x_{3}^{2}}{{{10}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow {{x}_{3}}=8,124\left( cm \right)$
Đáp án A.