Câu 65 trang 62 - 63 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Lời giải chi tiết

A) Giả sử đã xác định được đường thẳng \(\Delta \) cắt AC1​ và BA1​ lần lượt tại I và J.
Xét phép chiếu song song lên mp(ABB1​A1​) theo phương chiếu D1​B1​. Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A, I, C1​ lần lượt là ba điểm thẳng hàng A, J, K. Mặt khác J thuộc BA1​, nên J chính là giao điểm của AK và BA1​.
Từ đó, ta có cách dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:
- Dựng điểm K là hình chiếu của C1​ (theo phương chiếu D1​B1​).
- Lấy giao điểm J của AK và BA1​.
- Qua J dựng đường thẳng \(\Delta \) // C1​K (đã có C1​K // B1​D1​) ta được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
b) Dễ thấy \({A_1}{B_1} = {B_1}K \Rightarrow {A_1}K = 2AB\) (do A1​B1​ = AB).
Vì AB // A1​K \( \Rightarrow {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {{AB} \over {{A_1}K}} = {1 \over 2}\).
Mặt khác IJ // C1​K \( \Rightarrow {{AI} \over {I{C_1}}} = {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AI} \over {A{C_1}}} = {1 \over 3}\).