Câu 50 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Lời giải chi tiết

A) Vì $SO\mathrm{\perp }A{A}_1,BC\mathrm{\perp }A{A}_1,\left(P\right)\mathrm{\perp }A{A}_1$ và (P) qua điểm M nên (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với SO, BC.
Trường hợp x = 0, thiết diện là điểm A.
Trường hợp $0<x\le \frac{a\sqrt{3}}{3}$
$\left(P\right)\cap \left(ABC\right)=IJ$, IJ đi qua điểm M và IJ // BC.
$\left(P\right)\cap \left(SAO\right)=MK,MK//SO$
Vậy thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi (P) là tam giác IKJ. Dễ thấy IKJ là tam giác cân tại K.
Trường hợp $\frac{a\sqrt{3}}{3}<x<\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left(P\right)\cap \left(ABC\right)=IJ$, IJ  đi qua M và IJ // BC.
$\left(P\right)\cap \left(SO{A}_1\right)=MN,MN\parallel SO$
$\left(P\right)\cap \left(SBC\right)=HK$, HK đi qua N và HK // BC.
Vậy thiết diện thu được là hình thang IJHK.
Mặt khác M, N lần lượt là trung điểm của IJ, HK; MN // SO; $SO\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên $MN\mathrm{\perp }IJ$. Vậy tứ giác IJHK là hình thang cân.
Trường hợp $x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, thiết diện là đoạn thẳng BC.
b) Trường hợp $0\le x\le \frac{a\sqrt{3}}{3}$
$\begin{array}{rl}& S_{IJK}=\frac{1}{2}IJ.MK\\ & \frac{IJ}{BC}=\frac{AM}{A{A}_1}\Rightarrow IJ=\frac{2x\sqrt{3}}{3}\\ & \frac{MK}{SO}=\frac{AM}{AO}\Rightarrow MK=2x\sqrt{3}\end{array}$
Vậy $S_{\mathrm{I}\mathrm{J}K}=2{\mathrm{x}}^2$
Trường hợp $\frac{a\sqrt{3}}{3}<x<\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$S_{\mathrm{I}\mathrm{J}HK}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{I}\mathrm{J}+HK\right).MN$
Ta có:
$\begin{array}{rl}& IJ=\frac{2x\sqrt{3}}{3}\\ & \frac{HK}{BC}=\frac{SN}{S{A}_1}=\frac{OM}{O{A}_1}\Rightarrow HK=2\left(x\sqrt{3}-a\right);\\ & \frac{MN}{SO}=\frac{M{A}_1}{A_{1}O}\Rightarrow MN=2\left(3\mathrm{a}-2x\sqrt{3}\right)\end{array}$
Vậy $S_{\mathrm{I}\mathrm{J}HK}=\frac{2}{3}\left(4\mathrm{x}\sqrt{3}-3\mathrm{a}\right)\left(3\mathrm{a}-2x\sqrt{3}\right)$
Dễ thấy khi $0<x\le \frac{a\sqrt{3}}{3}$ thì diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi $x=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Lúc đó diện tích thiết diện bằng $\frac{2{\mathrm{a}}^2}{3}$.
Khi $\frac{a\sqrt{3}}{3}<x<\frac{a\sqrt{3}}{2}$ thì diện tích thiết diện là:
$S_{\mathrm{I}\mathrm{J}\mathrm{H}\mathrm{K}}=\frac{1}{3}\left(4\mathrm{x}\sqrt{3}-3\mathrm{a}\right)\left(6\mathrm{a}-4\mathrm{x}\sqrt{3}\right)$.
Từ đó, suy ra diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi $x=\frac{3\mathrm{a}\sqrt{3}}{8}$ .
Lúc đó diện tích thiết diện bằng $\frac{3{\mathrm{a}}^2}{4}$.
Vậy khi M thay đổi trên AA1​ thì diện tích thiết diện lớn nhất bằng $\frac{3{\mathrm{a}}^2}{4}$, lúc đó M được xác định bởi:
$AM=x=\frac{3\mathrm{a}\sqrt{3}}{8}$ hay $\frac{AM}{A{A}_1}=\frac{3}{4}$.