Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng a, đường cao SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đường cao AA1 của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AA1. Đặt AM = x.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P).
b) Tính diện tích thiết diện vừa xác định theo a và x. Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện đó đạt giá trị lớn nhất.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P).
b) Tính diện tích thiết diện vừa xác định theo a và x. Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện đó đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
A) Vì và (P) qua điểm M nên (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với SO, BC.
Trường hợp x = 0, thiết diện là điểm A.
Trường hợp
, IJ đi qua điểm M và IJ // BC.
Vậy thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi (P) là tam giác IKJ. Dễ thấy IKJ là tam giác cân tại K.
Trường hợp
, IJ đi qua M và IJ // BC.
, HK đi qua N và HK // BC.
Vậy thiết diện thu được là hình thang IJHK.
Mặt khác M, N lần lượt là trung điểm của IJ, HK; MN // SO; nên . Vậy tứ giác IJHK là hình thang cân.
Trường hợp , thiết diện là đoạn thẳng BC.
b) Trường hợp
Vậy
Trường hợp
Ta có:
Vậy
Dễ thấy khi thì diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi . Lúc đó diện tích thiết diện bằng .
Khi thì diện tích thiết diện là:
.
Từ đó, suy ra diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi .
Lúc đó diện tích thiết diện bằng .
Vậy khi M thay đổi trên AA1 thì diện tích thiết diện lớn nhất bằng , lúc đó M được xác định bởi:
hay .
A) Vì
Trường hợp x = 0, thiết diện là điểm A.
Trường hợp
Vậy thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi (P) là tam giác IKJ. Dễ thấy IKJ là tam giác cân tại K.
Trường hợp
Vậy thiết diện thu được là hình thang IJHK.
Mặt khác M, N lần lượt là trung điểm của IJ, HK; MN // SO;
Trường hợp
b) Trường hợp
Vậy
Trường hợp
Ta có:
Vậy
Dễ thấy khi
Khi
Từ đó, suy ra diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi
Lúc đó diện tích thiết diện bằng
Vậy khi M thay đổi trên AA1 thì diện tích thiết diện lớn nhất bằng