Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp(P). A, B, C không thẳng hàng nên có mp(ABC).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I = AB \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in AB \subset \left({ABC} \right)\\
I \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) \left(1 \right)\\
J = AC \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
J \in AC \subset \left({ABC} \right)\\
J \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow J \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) \left(2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left(P \right) = IJ\)
Lại có,
\(\begin{array}{l}
K = BC \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
K \in BC \subset \left({ABC} \right)\\
K \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow K \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) = IJ
\end{array}\)
Vậy I, J, K thẳng hàng.
Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp(P). A, B, C không thẳng hàng nên có mp(ABC).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I = AB \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in AB \subset \left({ABC} \right)\\
I \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) \left(1 \right)\\
J = AC \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
J \in AC \subset \left({ABC} \right)\\
J \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow J \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) \left(2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left(P \right) = IJ\)
Lại có,
\(\begin{array}{l}
K = BC \cap \left(P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
K \in BC \subset \left({ABC} \right)\\
K \in \left(P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow K \in \left({ABC} \right) \cap \left(P \right) = IJ
\end{array}\)
Vậy I, J, K thẳng hàng.