Câu 5.6 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R

Câu a​

            
Giải chi tiết:
– Với thì là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là
– Với thì là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là

– Với thì ta có

Và

Do đó , suy ra không tồn tại , tức là hàm số không liên tục tại điểm , nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.

Câu b​

 
Giải chi tiết:
Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm   và

Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm . Vì

Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm
Mặt khác ta có

Và
Do đó

Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm

Câu c​

Giải chi tiết:
Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm và

Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm
Ta có:

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
Mặt khác ta có:

Và

Vì  nên suy ra

Hay
Vậy với mọi , hàm số đã cho có đạo hàm và

Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được : “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm nên nó liên tục tại điểm đó”.