Google
Câu hỏi: Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \sqrt {{{\left| x \right|}^3}} \)
Tính f' (0) nếu có
\(f\left( x \right) = \sqrt {{{\left| x \right|}^3}} \)
Tính f' (0) nếu có
Lời giải chi tiết
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}}\)
Ta được \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x\sqrt x } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{ - x\sqrt { - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - \sqrt { - x} } \right) = 0\)
Nên \(f'\left( 0 \right) = 0\)
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}}\)
Ta được \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x\sqrt x } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{ - x\sqrt { - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - \sqrt { - x} } \right) = 0\)
Nên \(f'\left( 0 \right) = 0\)