Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

Câu a

\(y = x\sin 2x \left( {y''} \right)\)      
Giải chi tiết:
\(4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)\)

Câu b

\(y = {\cos ^2}x \left( {y'''} \right)\)
Giải chi tiết:
\(4\sin 2x\)

Câu c

\(y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1 \left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\)
Giải chi tiết:
\(y' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x; y'' = 12{x^2} - 18x + 2;\)
\(y''' = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left(n \right)}} = 0 \left({n \ge 5} \right).\)

Câu d

\(y = {1 \over {ax + b}}\)  (a, b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\))
Giải chi tiết:
\({{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left({ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\)

Câu e

\(y=\sin x, {y^{\left( n \right)}}\))
Giải chi tiết:
ta có
\(\eqalign{& y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)  \cr& y'' = \cos \left({x + {\pi  \over 2}} \right) = \sin \left({x + {{2\pi } \over 2}} \right)  \cr& y''' = \cos \left({x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left({x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \)
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được
\({y^{\left( n \right)}} = {\left({\sin x} \right)^{\left(n \right)}} = \sin \left({x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)

Câu f

\(y=\cos x, {y^{\left( n \right)}}\))
Giải chi tiết:
Chứng minh tương tự câu e), ta được
\({\left( {\cos x} \right)^{\left(n \right)}} = \cos \left({x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)