Câu 26 trang 59 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu hỏi: Khi cắt tứ diện bằng một mặt phẳng thì thiết diện nhận được có thể là những hình nào sau đây ?

Câu a​

Hình thang
Giải chi tiết:

Có thể cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để thiết diện là hình thang, ví dụ như mặt phẳng đi qua M, N (M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh AB, BC) và song song với BD

Câu b​

Hình bình hành
Giải chi tiết:

Có thể cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để thiết diện là hình bình hành, ví dụ như mặt phẳng đi qua điểm M nằm trên cạnh AB và song song với hai đường thẳng BD và AC.

Câu c​

Hình thoi
Giải chi tiết:
Có thể. Giả sử mặt phẳng cắt là (P) qua điểm M thuộc đoạn AB, song song với BD và AC. Khi đó thiết diện là hình bình hành MNEF.
Ta có:
\(\eqalign{  & {{MF} \over {BD}} = {{AM} \over {AB}} \Rightarrow MF = {{BD. AM} \over {AB}}  \cr  & {{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {AB}} \Rightarrow MN = {{AC. MB} \over {AB}} \cr} \)
Tứ giác MNEF là hình thoi
\(\Leftrightarrow MF = MN \Leftrightarrow BD. AM = AC. MB \)
\(\Leftrightarrow {{AM} \over {MB}} = {{AC} \over {BD}}.\left( * \right)\)
Vậy với M xác định ở (*) thì mp(P) qua M và song song với AC, BD sẽ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình thoi.