Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0; 4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3).

Câu a​

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C là

Khi đó tọa độ các điểm A, A’, B, C phải thỏa mãn phương trình mặt cầu nên ta có hệ:

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Thay tọa độ của điểm B’ vào (*) ta có:
Thay tọa độ của điểm C’ vào (*) ta có:

Câu b​

Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’ ta có:

Đường thẳng d đi qua O, G nhận là 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là

Gọi H(x, y, z) là trực tâm của tam giác ABC ta có:

Đặt
Rõ ràng khi t = a thì O, H, G cùng nằm trên đường thẳng có phương trình

Câu c​

Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).
Lời giải chi tiết:
Ta có :

Mặt phẳng đi qua A và nhận làm vectơ pháp tuyến nên (A’B’C’) có phương trình

Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) ; à tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) có phương trình
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .