Google
Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x - 3y = 2\\2x + y - z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x - y + z = 4\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y - z = 4\end{array} \right.\)
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x - 3y = 2\\2x + y - z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x - y + z = 4\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y - z = 4\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x - 3y = 2\quad (2)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1) ta có \(x = 2\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(y = 0\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 0\) vào phương trình (3) ta được \(z = 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;0;1} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8 \quad (2)\\3x - y + z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\3x - y + z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\ - 4y - 2z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\2y + z = 1\quad (3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\\x + 2y - z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có \(y = x + 5z + 2\), thay vào phương trình (2) ta được \(2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x = - 3z\)
Do đó \(y = 2z + 2\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 3z;2z + 2;z)\) với \(z \in \mathbb{R}\).
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x - 3y = 2\quad (2)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1) ta có \(x = 2\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(y = 0\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 0\) vào phương trình (3) ta được \(z = 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;0;1} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8 \quad (2)\\3x - y + z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\3x - y + z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\ - 4y - 2z = - 2\quad (3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6 \quad (2.1)\\2y + z = 1\quad (3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\\x + 2y - z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad (2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có \(y = x + 5z + 2\), thay vào phương trình (2) ta được \(2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x = - 3z\)
Do đó \(y = 2z + 2\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 3z;2z + 2;z)\) với \(z \in \mathbb{R}\).