Google
Câu hỏi: Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn \((O; R)\) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm BC. Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM
Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm BC. Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM
Lời giải chi tiết
Nếu BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A, do đó H trùng A nằm trên (O; R) cố định.
Nếu BC không là đường kính thì vẽ đường kính AM của đường tròn.
Khi đó,
BH // MC (vì cùng vuông góc với AC)
CH // MB (vì cùng vuông góc với AB)
Do đó BHCM là hình bình hành nên BC và MH cắt nhau tại trùng điểm I của mỗi đường.
Hay I là trung điểm của MH.
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H.
Khi A chạy trên đường tròn \((O; R)\) thì M chạy trên đường tròn \((O; R)\).
Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn \((O; R)\) qua phép đối xứng tâm I.
Nếu BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A, do đó H trùng A nằm trên (O; R) cố định.
Nếu BC không là đường kính thì vẽ đường kính AM của đường tròn.
Khi đó,
BH // MC (vì cùng vuông góc với AC)
CH // MB (vì cùng vuông góc với AB)
Do đó BHCM là hình bình hành nên BC và MH cắt nhau tại trùng điểm I của mỗi đường.
Hay I là trung điểm của MH.
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H.
Khi A chạy trên đường tròn \((O; R)\) thì M chạy trên đường tròn \((O; R)\).
Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn \((O; R)\) qua phép đối xứng tâm I.