Cắt hình nón $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnhhuyền bằng $a\sqrt{2}.$ Gọi $BC$ là dây cung của đường tròn đáy...

Phương pháp:
- Từ giả thiết $\mathrm{\Delta }SAB$ vuông cân có $AB=a\sqrt{2},$ tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
- Xác định góc giữa $\left(SBC\right)$ và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùngvuông góc với giao tuyến.
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $OH,SH,$ áp dụng định lí Pytago tính $BC.$
- Tính $S_{\mathrm{\Delta }SBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}SH,BC.$
Cách giải:

Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$ như hình vẽ, theo bài ra ta có $AB=a\sqrt{2}$ nên hình nón có bán kính $r=OA=OB={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$ và chiều cao $h=SO={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow OH\mathrm{\perp }BC$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }OH\\ & BC\mathrm{\perp }SO\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SOH\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SH.$
$\{\begin{array}{rl}& \left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ & SH\subset \left(SBC\right),SH\mathrm{\perp }BC\left(cmt\right)\\ & OH\subset \left(ABC\right),OH\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(SBC\right);\left(ABC\right))=\mathrm{\angle }(SH;OH)=\mathrm{\angle }SHO={60}^0.$
Xét tam giác vuông $SOH$ ta có: $OH=SO.\cot {60}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{6}},SH={\displaystyle \frac{SO}{\sin {60}^0}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OHB$ ta có:
$HB=\sqrt{O{B}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{6}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$
$\Rightarrow BC=2BH={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}.$
Vậy $S_{\mathrm{\Delta }SBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}BC.SH={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{2}}{3}}.$