Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnhhuyền bằng $a\sqrt{2}.$ Gọi $BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Tính diện tích của tam giác $SBC$.
A. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{2}$
B. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$
C. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$
D. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}$
A. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{2}$
B. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$
C. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$
D. ${{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}$
Phương pháp:
- Từ giả thiết $\Delta SAB$ vuông cân có $AB=a\sqrt{2},$ tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
- Xác định góc giữa $\left( SBC \right)$ và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùngvuông góc với giao tuyến.
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $OH,SH,$ áp dụng định lí Pytago tính $BC.$
- Tính ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}SH,BC.$
Cách giải:
Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$ như hình vẽ, theo bài ra ta có $AB=a\sqrt{2}$ nên hình nón có bán kính $r=OA=OB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $h=SO=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow OH\bot BC$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OH \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot SH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SH\subset \left( SBC \right),SH\bot BC\left( cmt \right) \\
& OH\subset \left( ABC \right),OH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SH;OH \right)=\angle SHO={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SOH$ ta có: $OH=SO.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6},SH=\dfrac{SO}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OHB$ ta có:
$HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
$\Rightarrow BC=2BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Vậy ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}BC.SH=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
- Từ giả thiết $\Delta SAB$ vuông cân có $AB=a\sqrt{2},$ tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
- Xác định góc giữa $\left( SBC \right)$ và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùngvuông góc với giao tuyến.
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $OH,SH,$ áp dụng định lí Pytago tính $BC.$
- Tính ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}SH,BC.$
Cách giải:
Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$ như hình vẽ, theo bài ra ta có $AB=a\sqrt{2}$ nên hình nón có bán kính $r=OA=OB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $h=SO=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow OH\bot BC$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OH \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot SH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SH\subset \left( SBC \right),SH\bot BC\left( cmt \right) \\
& OH\subset \left( ABC \right),OH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SH;OH \right)=\angle SHO={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SOH$ ta có: $OH=SO.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6},SH=\dfrac{SO}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OHB$ ta có:
$HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
$\Rightarrow BC=2BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Vậy ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}BC.SH=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án B.