Google
Câu hỏi: Cắt hình nón ${(N)}$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${30\circ}$, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh ${2 a}$. Diện tích xung quanh của ${(N)}$ bằng
A. ${\sqrt{7} \pi a^2}$.
B. ${\sqrt{13} \pi a^2}$.
C. ${2 \sqrt{13} \pi a^2}$
D. ${2 \sqrt{7} \pi a^2}$.
Xét hình nón ${(N)}$ và mặt phẳng ${(S A B)}$ đi qua đỉnh cắt ${(O)}$ tại ${A, B}$.
Gọi ${H}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${A B}$.
Tam giác ${S A B}$ đều nên ${S H=\dfrac{A B \sqrt{3}}{2}=\dfrac{2 a \cdot \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}}$
Ta có ${\left\{\begin{array}{l}(S A B) \cap(O A B)=A B \\ S H \perp A B \\ O H \perp A B\end{array} \Rightarrow\left(({S A B),(O A B)})=(\widehat{S H, O H})=\widehat{S H O}=30\circ\right.\right.}$
${\sin \widehat{S H O}=\dfrac{S O}{S H} \Rightarrow S O=S H \cdot \sin 30\circ=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}}$
${O B=\sqrt{S B^2-S O^2}=\sqrt{(2 a)^2-\left(\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}}$
Vậy ${S_{x q}=\pi \cdot S B \cdot O B=\pi .2 a \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{2}=\sqrt{13} \pi a^2}$.
A. ${\sqrt{7} \pi a^2}$.
B. ${\sqrt{13} \pi a^2}$.
C. ${2 \sqrt{13} \pi a^2}$
D. ${2 \sqrt{7} \pi a^2}$.
Xét hình nón ${(N)}$ và mặt phẳng ${(S A B)}$ đi qua đỉnh cắt ${(O)}$ tại ${A, B}$.
Gọi ${H}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${A B}$.
Tam giác ${S A B}$ đều nên ${S H=\dfrac{A B \sqrt{3}}{2}=\dfrac{2 a \cdot \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}}$
Ta có ${\left\{\begin{array}{l}(S A B) \cap(O A B)=A B \\ S H \perp A B \\ O H \perp A B\end{array} \Rightarrow\left(({S A B),(O A B)})=(\widehat{S H, O H})=\widehat{S H O}=30\circ\right.\right.}$
${\sin \widehat{S H O}=\dfrac{S O}{S H} \Rightarrow S O=S H \cdot \sin 30\circ=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}}$
${O B=\sqrt{S B^2-S O^2}=\sqrt{(2 a)^2-\left(\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}}$
Vậy ${S_{x q}=\pi \cdot S B \cdot O B=\pi .2 a \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{2}=\sqrt{13} \pi a^2}$.
Đáp án B.