Google
Câu hỏi: Cắt hình nón ${(N)}$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${30\circ}$, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh ${4 a}$. Diện tích xung quanh của ${(N)}$ bằng
A. ${(Q)}$.
B. ${8 \sqrt{7} \pi a^2}$.
C. ${8 \sqrt{13} \pi a^2}$
D. ${ 4 \sqrt{13} \pi a^2}$.
Giả sử mặt phẳng ${(P)}$ cắt đáy của hình nón theo dây ${A B}$. Suy ra tam giác ${S A B}$ đều ${\Rightarrow A B=4 a}$.
Gọi ${M}$ là trung điểm của ${A B \Rightarrow \widehat{S M O}=30^{\circ}}$.
Vì ${S M}$ là đường cao của tam giác ${S A B}$ nên ${S M=\dfrac{4 a \sqrt{3}}{2}=2 a \sqrt{3}}$.
Tam giác ${S M O}$ vuông tại ${O}$ nên ${\sin \widehat{S M O}=\dfrac{S O}{S M} \Rightarrow S O=S M \cdot \sin 30^{\circ}=2 a \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}=a \sqrt{3}}$.
Suy ra ${O M=\sqrt{S M^{2}-S O^{2}}=\sqrt{12 a^{2}-3 a^{2}}=3 a ; O A=\sqrt{O M^{2}+M A^{2}}=\sqrt{9 a^{2}+4 a^{2}}=a \sqrt{13}}$
Vậy ${S_{x q}=\pi R l=\pi . O A \cdot S A=\pi \cdot a \sqrt{13} .4 a=4 \sqrt{13} \pi a^{2} .}$
A. ${(Q)}$.
B. ${8 \sqrt{7} \pi a^2}$.
C. ${8 \sqrt{13} \pi a^2}$
D. ${ 4 \sqrt{13} \pi a^2}$.
Giả sử mặt phẳng ${(P)}$ cắt đáy của hình nón theo dây ${A B}$. Suy ra tam giác ${S A B}$ đều ${\Rightarrow A B=4 a}$.
Gọi ${M}$ là trung điểm của ${A B \Rightarrow \widehat{S M O}=30^{\circ}}$.
Vì ${S M}$ là đường cao của tam giác ${S A B}$ nên ${S M=\dfrac{4 a \sqrt{3}}{2}=2 a \sqrt{3}}$.
Tam giác ${S M O}$ vuông tại ${O}$ nên ${\sin \widehat{S M O}=\dfrac{S O}{S M} \Rightarrow S O=S M \cdot \sin 30^{\circ}=2 a \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}=a \sqrt{3}}$.
Suy ra ${O M=\sqrt{S M^{2}-S O^{2}}=\sqrt{12 a^{2}-3 a^{2}}=3 a ; O A=\sqrt{O M^{2}+M A^{2}}=\sqrt{9 a^{2}+4 a^{2}}=a \sqrt{13}}$
Vậy ${S_{x q}=\pi R l=\pi . O A \cdot S A=\pi \cdot a \sqrt{13} .4 a=4 \sqrt{13} \pi a^{2} .}$
Đáp án D.