Google
Câu hỏi: Cắt hình nón đỉnh $I$ bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$ ; $BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $\left( IBC \right)$ tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc ${{60}^{0}}$. Tính theo $a$ diện tích $S$ của tam giác $IBC$.
A. $S=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{6}$.
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
D. $S=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$.
Giả sử thiết diện là tam giác $IMN\Rightarrow IM=IN=a; OB=OC=OM=ON=OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (với $O$ là tâm của đường tròn đáy hình nón).
Gọi $H$ là trung điểm $BC$.
Ta có $IH=\dfrac{OI}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}; OH=IH.cos{{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\Rightarrow HC=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy ${{S}_{\Delta IBC}}=IH.HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
A. $S=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{6}$.
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
D. $S=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$.
Ta có $IH=\dfrac{OI}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}; OH=IH.cos{{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\Rightarrow HC=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right)}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy ${{S}_{\Delta IBC}}=IH.HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án C.
