Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích $V$ cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích

V

cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng
A.

\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} .

B.

\sqrt[3]{\frac{V}{3 π}} .

C.

\sqrt[3]{\frac{V}{π}} .

D.

\sqrt[3]{\frac{V}{2}} .

Ta có

V = π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π r^{2}} .

S_{toan pha \overset{`}{a} n} = S_{xung quanh} + 2 S_{\tilde{n} a \overset{`}{u} y} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r . \frac{V}{π r^{2}} + 2 π r^{2} = \frac{2 V}{r} + 2 π r^{2} = \frac{V}{r} + \frac{V}{r} + 2 π r^{2} .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương

\frac{V}{r}, \frac{V}{r}, 2 π r^{2}

ta có

\frac{V}{r} + \frac{V}{r} + 2 π r^{2} \geq 3 \sqrt[3]{2 π V^{2}} .

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow \frac{V}{r} = 2 π r^{2} \Leftrightarrow r^{3} = \frac{V}{2 π} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} .

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng

\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} .

Đáp án A.