Google
Câu hỏi: Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích $V$ cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng
A. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
B. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{3\pi }}.$
C. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{\pi }}.$
D. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2}}.$
Ta có $V=\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}.$
${{S}_{\text{toan pha }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ n}}}={{S}_{\text{xung quanh}}}+2{{S}_{\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ a }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ y}}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi r.\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}+2\pi {{r}^{2}}=\dfrac{2V}{r}+2\pi {{r}^{2}}=\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r}+2\pi {{r}^{2}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\dfrac{V}{r},\dfrac{V}{r},2\pi {{r}^{2}}$ ta có $\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r}+2\pi {{r}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{2\pi {{V}^{2}}}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{V}{r}=2\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{3}}=\dfrac{V}{2\pi }\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
A. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
B. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{3\pi }}.$
C. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{\pi }}.$
D. $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2}}.$
Ta có $V=\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}.$
${{S}_{\text{toan pha }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ n}}}={{S}_{\text{xung quanh}}}+2{{S}_{\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ a }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ y}}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi r.\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}+2\pi {{r}^{2}}=\dfrac{2V}{r}+2\pi {{r}^{2}}=\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r}+2\pi {{r}^{2}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\dfrac{V}{r},\dfrac{V}{r},2\pi {{r}^{2}}$ ta có $\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r}+2\pi {{r}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{2\pi {{V}^{2}}}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{V}{r}=2\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{3}}=\dfrac{V}{2\pi }\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng $\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}.$
Đáp án A.