Google
Câu hỏi: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2$ tại điểm $A\left( -1; 1 \right)$ vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0$. Tính ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$
A. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-2$.
B. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=13$.
C. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-5$.
D. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=10$.
A. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-2$.
B. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=13$.
C. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-5$.
D. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=10$.
Đặt $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2$. Ta có ${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx$.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left( -1; 1 \right)$ là ${{k}_{1}}={f}'\left( -1 \right)=-4a-2b$.
Đường thẳng $x-2y+3=0$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=\dfrac{1}{2}$. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng này nên ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Rightarrow {{k}_{1}}=-2$ hay $-4a-2b=-2$.
Mặt khác đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( -1; 1 \right)$ nên $1=a.{{\left( -1 \right)}^{4}}+b{{\left( -1 \right)}^{2}}+2$ hay $a+b=-1$.
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=-2 \\
& a+b=-1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right. $ . Suy ra $ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( -3 \right)}^{2}}=4-9=-5$.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left( -1; 1 \right)$ là ${{k}_{1}}={f}'\left( -1 \right)=-4a-2b$.
Đường thẳng $x-2y+3=0$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=\dfrac{1}{2}$. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng này nên ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Rightarrow {{k}_{1}}=-2$ hay $-4a-2b=-2$.
Mặt khác đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( -1; 1 \right)$ nên $1=a.{{\left( -1 \right)}^{4}}+b{{\left( -1 \right)}^{2}}+2$ hay $a+b=-1$.
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=-2 \\
& a+b=-1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right. $ . Suy ra $ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( -3 \right)}^{2}}=4-9=-5$.
Đáp án C.