Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2$ tại điểm $A\left( -1;1 \right)$ vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính...

Phương pháp:
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x={{x}_{0}}$ là $k=f'\left( {{x}_{0}} \right).$
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hệ số góc của chúng bằng 0.
Cách giải:
Ta có: $y'=4a{{x}^{3}}+2bx.$
$\Rightarrow $ tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2$ tại điểm $A\left( -1;1 \right)$ có hệ số góc là $k=-4a-2b.$
Vì tiếp tuyến tại $A\left( -1;1 \right)$ vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ nên $k.\dfrac{1}{2}=-1\Leftrightarrow k=-2.$
$\Rightarrow -4a-2b=-2\Leftrightarrow 2a+b=1\left( 1 \right).$
Lại có điểm $A\left( -1;1 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2$ nên $a+b+2=1\Leftrightarrow a+b=-1\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có: $a=2,b=-3.$
Vậy ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( -3 \right)}^{2}}=-5.$