Google
Câu hỏi: Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\dfrac{3+iz}{1+z}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một đường thẳng. Khi đó mô đun của $z$ bằng
A. 1
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. 3
D. $\sqrt{2}$
A. 1
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. 3
D. $\sqrt{2}$
Ta có $w=\dfrac{3+iz}{1+z}\Leftrightarrow w+zw=3+iz\Leftrightarrow w-3=\left( i-w \right)z\Leftrightarrow \left| w-3 \right|=\left| w-i \right|\left| z \right|.$
Giả sử $w=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
$\Rightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow \left( 1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-6a+2{{\left| z \right|}^{2}}b+9-{{\left| z \right|}^{2}}=0.$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường thẳng nên $\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0.$ Vì $w=0$ không thỏa mãn bài toán, suy ra $\left| z \right|=1.$
Giả sử $w=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
$\Rightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow \left( 1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-6a+2{{\left| z \right|}^{2}}b+9-{{\left| z \right|}^{2}}=0.$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường thẳng nên $\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0.$ Vì $w=0$ không thỏa mãn bài toán, suy ra $\left| z \right|=1.$
Đáp án A.