Biết số phức ${z}$ thoả mãn ${\left|z-2+3i \right|=\sqrt{5}}$ và...

Giả sử $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có ${\left|z-2+3i \right|=\sqrt{5}}$ $\Rightarrow $ tập hợp các điểm ${M}$ biểu diễn số phức ${z}$ là đường tròn ${\left(C \right)}$ tâm $I\left( 2;-3 \right)$, bán kính ${R=\sqrt{5}}$.
Lại có $P={{\left| z+i \right|}^{2}}-{{\left| z-2 \right|}^{2}}={{\left| x+\left( y+1 \right)i \right|}^{2}}-{{\left| \left( x-2 \right)+yi \right|}^{2}}=+{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1-{{x}^{2}}+4x-4-{{y}^{2}}=4x+2y-3$
$\Rightarrow $ tập hợp các điểm ${M}$ biểu diễn số phức ${z}$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta \right):4x+2y-3-P=0$
Ta cần tìm ${P}$ sao cho đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và đường tròn ${\left(C \right)}$ có điểm chung $d\left( I,\Delta \right)\le R$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.2+2.\left( -3 \right)-3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow |-1-P|\le 10\Leftrightarrow -10\le -1-P\le 10\Leftrightarrow -11\le P\le 9$
Do đó $\max P=9$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\begin{aligned}
& 4x+2y-12=0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\begin{aligned}
& x=4 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \\
\end{array} \right. $. Suy ra $ {{z}_{\text{max}}}=4-2i$.
Vậy $\left| z \right|=2\sqrt{5}$.