Google
Câu hỏi: Biết rằng với $m={{m}_{0}}$, phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+8=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=6$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $1<{{m}_{0}}<3$.
B. ${{m}_{0}}\ge 3$.
C. $0<{{m}_{0}}<2$.
D. ${{m}_{0}}<0$.
A. $1<{{m}_{0}}<3$.
B. ${{m}_{0}}\ge 3$.
C. $0<{{m}_{0}}<2$.
D. ${{m}_{0}}<0$.
${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+8=0 \left( 1 \right)$
Đặt $t={{2}^{x}}$ $\left( t>0 \right)$, thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+8=0 \left( 2 \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ thỏa mãn: $\left( {{\log }_{2}}{{t}_{1}}+1 \right)\left( {{\log }_{2}}{{t}_{2}}+1 \right)=6$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}{{\log }_{2}}{{t}_{2}}+{{\log }_{2}}\left( {{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)=5 \left( 3 \right)$
Áp dụng định lí Vi-et cho $\left( 2 \right)$ ta được: ${{t}_{1}}{{t}_{2}}=8$, thay vào $\left( 3 \right)$ ta được:
${{\log }_{2}}{{t}_{1}}{{\log }_{2}}\dfrac{8}{{{t}_{1}}}=2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}\left( 3-{{\log }_{2}}{{t}_{1}} \right)=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}{{t}_{1}}=1 \\
& {{\log }_{2}}{{t}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=2 \\
& {{t}_{1}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }} m=2$.
Đặt $t={{2}^{x}}$ $\left( t>0 \right)$, thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+8=0 \left( 2 \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ thỏa mãn: $\left( {{\log }_{2}}{{t}_{1}}+1 \right)\left( {{\log }_{2}}{{t}_{2}}+1 \right)=6$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}{{\log }_{2}}{{t}_{2}}+{{\log }_{2}}\left( {{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)=5 \left( 3 \right)$
Áp dụng định lí Vi-et cho $\left( 2 \right)$ ta được: ${{t}_{1}}{{t}_{2}}=8$, thay vào $\left( 3 \right)$ ta được:
${{\log }_{2}}{{t}_{1}}{{\log }_{2}}\dfrac{8}{{{t}_{1}}}=2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}\left( 3-{{\log }_{2}}{{t}_{1}} \right)=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}{{t}_{1}}=1 \\
& {{\log }_{2}}{{t}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=2 \\
& {{t}_{1}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ $ \overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }} m=2$.
Đáp án A.