Google
Câu hỏi: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}<{{3.2}^{x}}$ là khoảng $\left( a;b \right),$ hãy tính $S=b-a.$
A. $S=1.$
B. $S=4.$
C. $S=3.$
D. $S=2.$
A. $S=1.$
B. $S=4.$
C. $S=3.$
D. $S=2.$
Ta có ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}<{{3.2}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}-3<0\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}$ điều kiện $t>0,$ vì ${{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}.{{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=1$ nên ta có ${{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$.
Khi đó (1) trở thành $t+\dfrac{1}{t}-3<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+1<0$ (vì $t>0).$
$\Leftrightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<t<\dfrac{3+\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<{{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow -1<x<1$
Do đó bất phương trình có tập nghiệm là $\left( -1;1 \right)$ từ đó suy ra $a=-1,b=1$
Vậy $S=b-a=1-\left( -1 \right)=2.$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}$ điều kiện $t>0,$ vì ${{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}.{{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=1$ nên ta có ${{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$.
Khi đó (1) trở thành $t+\dfrac{1}{t}-3<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+1<0$ (vì $t>0).$
$\Leftrightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<t<\dfrac{3+\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<{{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow -1<x<1$
Do đó bất phương trình có tập nghiệm là $\left( -1;1 \right)$ từ đó suy ra $a=-1,b=1$
Vậy $S=b-a=1-\left( -1 \right)=2.$
Đáp án D.