Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} < {3.2}^{x}$ là khoảng $\left( a; b...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình

{(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} < {3.2}^{x}

là khoảng

(a; b),

hãy tính

S = b - a .

A.

S = 1.

B.

S = 4.

C.

S = 3.

D.

S = 2.

Ta có

{(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} < {3.2}^{x} \Leftrightarrow {(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x} + {(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})}^{x} - 3 < 0 (1)

Đặt

t = {(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x}

điều kiện

t > 0,

vì

{(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x} . {(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})}^{x} = 1

nên ta có

{(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})}^{x} = \frac{1}{t}

.
Khi đó (1) trở thành

t + \frac{1}{t} - 3 < 0 \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 1 < 0

(vì

t > 0) .

\Leftrightarrow \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < t < \frac{3 + \sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < {(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow - 1 < x < 1

Do đó bất phương trình có tập nghiệm là

(- 1; 1)

từ đó suy ra

a = - 1, b = 1

Vậy

S = b - a = 1 - (- 1) = 2.

Đáp án D.

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình (3+5)x+(3−5)x<3.2x là khoảng $\left( a; b...