Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương...

Phương pháp:
- Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3\left| x \right|+1 \right|.~$
- Số nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{3}}-3\left| x \right|+1 \right|=m-1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng y= m-1 có tính chất song song với trục hoành.
Cách giải:
Ta xét hàm số
$y={{x}^{3}}-3\left| x \right|+1=\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3x+1 khi x\ge 0 \\
& {{x}^{3}}+3x+1 khi x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta được đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3\left| x \right|+1$ được xác định như sau:
- Từ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3\left| x \right|+1$ lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy để đường thẳng $y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3\left| x \right|+1 \right|$ tại 6 điểm phân biệt thì $0<m-1<1\Leftrightarrow 1<m<2$ hay $m\in \left( 1;2 \right).~$
$\Rightarrow a=1,b=2. $ Vậy $S={{1}^{2}}+{{2}^{2}}=5.$