Biết rằng phương trình ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x=1+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Giá trị của...

Phương pháp:
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}x=b\Leftrightarrow x={{a}^{b}}.$
Cách giải:
${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x=1+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}x-1=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\left( 1-{{\log }_{3}}x \right)-\left( 1-{{\log }_{3}}x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 1-{{\log }_{3}}x \right)\left( {{\log }_{2}}x-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x=1 \\
& {{\log }_{2}}x=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=3 \\
& {{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{3}^{2}}+{{2}^{2}}=13.$