Google
Câu hỏi: Biết rằng $\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{\cos }^{3}}x.\sin 3x+{{\sin }^{3}}x.\cos 3x \right)dx}=\dfrac{a}{b}\cos 4x+C$ với $a,b\in \mathbb{Z},\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản $\left( a<0,b>0 \right)$, tính $2a+b.$
A. $-13$
B. 13
C. $-10$
D. 10
A. $-13$
B. 13
C. $-10$
D. 10
Phương pháp:
- Sử dụng các công thức: ${{\cos }^{3}}x=\dfrac{3\cos x+\cos 3x}{4},{{\sin }^{3}}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4},\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{\sin kxdx}=-\dfrac{1}{k}\cos kx+C.$
Cách giải:
Ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{\cos }^{3}}x.\sin 3x+{{\sin }^{3}}x.\cos 3x \right)dx}$
$=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( \dfrac{3\cos x+\cos 3x}{4}.\sin 3x+\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}.\cos 3x \right)dx}$
$=\dfrac{1}{4}\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 3\sin 3x\cos x+\sin 3x\cos 3x+3\sin x\cos 3x-\sin 3x\cos 3x \right)dx}$
$=\dfrac{3}{4}\int\limits_{{}}^{{}}{\sin 4xdx}=-\dfrac{3}{16}\cos 4x+C$
$\Rightarrow a=-3,b=16.$ Vậy $2a+b=2.\left( -3 \right)+16=10.$
- Sử dụng các công thức: ${{\cos }^{3}}x=\dfrac{3\cos x+\cos 3x}{4},{{\sin }^{3}}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4},\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{\sin kxdx}=-\dfrac{1}{k}\cos kx+C.$
Cách giải:
Ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{\cos }^{3}}x.\sin 3x+{{\sin }^{3}}x.\cos 3x \right)dx}$
$=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( \dfrac{3\cos x+\cos 3x}{4}.\sin 3x+\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}.\cos 3x \right)dx}$
$=\dfrac{1}{4}\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 3\sin 3x\cos x+\sin 3x\cos 3x+3\sin x\cos 3x-\sin 3x\cos 3x \right)dx}$
$=\dfrac{3}{4}\int\limits_{{}}^{{}}{\sin 4xdx}=-\dfrac{3}{16}\cos 4x+C$
$\Rightarrow a=-3,b=16.$ Vậy $2a+b=2.\left( -3 \right)+16=10.$
Đáp án D.