Biết rằng $\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}-x+1}{x+\sqrt{x-1}}dx}=\dfrac{a-b\sqrt{2}}{6}$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính $T=a+b.$

Phương pháp:
- Nhân liên hợp.
- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
Cách giải:
Ta có
$\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}-x+1}{x+\sqrt{x-1}}dx}=\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{\left( x-\sqrt{x-1} \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{{{x}^{2}}-x+1}dx}$
$=\int\limits_{2}^{3}{\left( x-\sqrt{x-1} \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)\sqrt{x-1} \right)\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 2 \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{3}\left( 2\sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{19-8\sqrt{2}}{6}$
Nên $a=19,b=8,c=6.$
Vậy $T=a+b=19+8=27.$