Biết rằng $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2+x}}dx=a+b\ln 3+c\ln 2$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a+3b-4c.$

Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{k}{ax+b}}dx$.
- Tính tích phân và tìm $a,b,c$
Giải chi tiết:
Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2+x}}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x-1+{\displaystyle \frac{x-1}{x^2+x}})dx$
$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x-1)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{x-1}{x(x+1)}}dx$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}+I$
Giả sử ${\displaystyle \frac{x-1}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{B}{x}}+{\displaystyle \frac{C}{x+1}}$ $\iff {\displaystyle \frac{x-1}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{B(x+1)+Cx}{x(x+1)}}$
$\iff {\displaystyle \frac{x-1}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{(B+C)x+B}{x(x+1)}}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}B+C=1\\ B=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}B=-1\\ C=2\end{array}$
Khi đó ta có
$I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{x-1}{x(x+1)}}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{-1}{x}}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{2}{x+1}}dx$
$={-\ln \left|x\right||}_1^2+{2\ln |x+1||}_1^2$ $=-\ln 2+2\ln 3-2\ln 2$ $=2\ln 3-3\ln 2$
$\Rightarrow \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2+x}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}+2\ln 3-3\ln 2$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b=2\\ c=-3\end{array}$
Vậy $2a+3b-4c=2.{\displaystyle \frac{1}{2}}+3.2-4.(-3)=19$.