Biết rằng $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+x}dx=a+b\ln 3+c\ln 2}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a+3b-4c.$

Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{k}{ax+b}dx}$.
- Tính tích phân và tìm $a,b,c$
Giải chi tiết:
Ta có: $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1+\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}+x} \right)dx}$
$=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{x-1}{x\left( x+1 \right)}dx}$ $=\dfrac{1}{2}+I$
Giả sử $\dfrac{x-1}{x\left( x+1 \right)}=\dfrac{B}{x}+\dfrac{C}{x+1}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x\left( x+1 \right)}=\dfrac{B\left( x+1 \right)+Cx}{x\left( x+1 \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x\left( x+1 \right)}=\dfrac{\left( B+C \right)x+B}{x\left( x+1 \right)}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
B+C=1 \\
B=-1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
B=-1 \\
C=2 \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có
$I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{x-1}{x\left( x+1 \right)}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{-1}{x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{2}{x+1}dx}$
$=\left. -\ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}+\left. 2\ln \left| x+1 \right| \right|_{1}^{2}$ $=-\ln 2+2\ln 3-2\ln 2$ $=2\ln 3-3\ln 2$
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\dfrac{1}{2}+2\ln 3-3\ln 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\dfrac{1}{2} \\
b=2 \\
c=-3 \\
\end{array} \right.$
Vậy $2a+3b-4c=2.\dfrac{1}{2}+3.2-4.\left( -3 \right)=19$.