Google
Câu hỏi: Biết rằng hình thang cong $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=2-x, y=0, x=k, x=3$ $\left( k<2 \right)$ và có diện tích bằng ${{S}_{k}}$. Xác định giá trị của $k$ để ${{S}_{k}}=16$.
A. $k=2+\sqrt{15}$.
B. $k=2+\sqrt{31}$.
C. $k=2-\sqrt{15}$.
D. $k=2-\sqrt{31}$.
A. $k=2+\sqrt{15}$.
B. $k=2+\sqrt{31}$.
C. $k=2-\sqrt{15}$.
D. $k=2-\sqrt{31}$.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
$\int\limits_{k}^{3}{\left| 2-x \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{k}^{2}{\left( 2-x \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{3}{\left( x-2 \right)\text{d}x}$ $=\left. \left( 2x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{k}^{2}+\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{3}$ $=2-\left( 2k-\dfrac{{{k}^{2}}}{2} \right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2k+\dfrac{5}{2}$.
Do ${{S}_{k}}=16$ nên $\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2k+\dfrac{5}{2}=16$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=2-\sqrt{31} \\
& k=2+\sqrt{31} \\
\end{aligned} \right. $. Do điều kiện nên ta nhận $ k=2-\sqrt{31}$.
$\int\limits_{k}^{3}{\left| 2-x \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{k}^{2}{\left( 2-x \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{3}{\left( x-2 \right)\text{d}x}$ $=\left. \left( 2x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{k}^{2}+\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{3}$ $=2-\left( 2k-\dfrac{{{k}^{2}}}{2} \right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2k+\dfrac{5}{2}$.
Do ${{S}_{k}}=16$ nên $\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2k+\dfrac{5}{2}=16$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=2-\sqrt{31} \\
& k=2+\sqrt{31} \\
\end{aligned} \right. $. Do điều kiện nên ta nhận $ k=2-\sqrt{31}$.
Đáp án D.