Google
Câu hỏi: Biết rằng hai số thực ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=3$ và $\left| {{z}_{2}}+1+\dfrac{1}{4}i \right|=\dfrac{1}{2}.$ Số phức $z$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$ thỏa mãn $a-2b=5.$ Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-4{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}$
B. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-2$
C. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-3$
D. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-5$
A. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}$
B. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-2$
C. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-3$
D. ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-5$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=3 \\
& \left| {{z}_{2}}+1+\dfrac{1}{4}i \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| 4{{z}_{2}}+4+i \right|=2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra ta có $a-2b=5\Leftrightarrow b=\dfrac{a-5}{2}\Rightarrow z=a+\dfrac{a-5}{2}i.$
Số phức $z$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;\dfrac{a-5}{2} \right).$
Giả sử:
${{z}_{1}}$ có điểm biểu diễn là $A$
$4{{z}_{2}}$ có điểm biểu diễn là $B$
Khi đó ta có:
Tập hợp các điểm $A$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 3;4 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=3.$
Tập hợp các điểm $B$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -4;-1 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=2.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=a \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{{{x}_{M}}-5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{M}}-2{{y}_{M}}-5=0 $ nên tập hợp các điểm $ M $ là đường thẳng $ \Delta :x-2y-5=0$
Ta có:
$P=\left| {{z}_{1}}-z \right|+\left| z-4{{z}_{2}} \right|$
$=MA+MB\ge M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}A+M{{I}_{2}}-{{I}_{2}}B$
$=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}-5$
Gọi ${{I}_{1}}'$ là điểm đối xứng với ${{I}_{1}}$ qua $\Delta .$
Vì ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'\bot \Delta $ nên phương trình đường thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'$ có dạng $2x+y+c=0$
${{I}_{1}}\left( 3;4 \right)\in {{I}_{1}}{{I}_{1}}'\Rightarrow 2.3+4+c=0\Leftrightarrow c=-10\Rightarrow \left( {{I}_{1}}{{I}_{1}}' \right):2x+y-10=0.$
Gọi $H={{I}_{1}}{{I}_{1}}'\cap \Delta \Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y-10=0 \\
& x-2y-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 5;0 \right).$
Vì $H$ là trung điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'$ nên ${{I}_{1}}'\left( 7;-4 \right).$
Vì ${{I}_{1}},{{I}_{1}}'$ đối xứng nhau qua $\Delta $ nên $M{{I}_{1}}=M{{I}_{1}}'$.
$\Rightarrow M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=M{{I}_{1}}'+M{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}'{{I}_{2}}=\sqrt{{{11}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{130}.$
Vậy $P\ge \sqrt{130}-5$ nên ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-5.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=3 \\
& \left| {{z}_{2}}+1+\dfrac{1}{4}i \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| 4{{z}_{2}}+4+i \right|=2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra ta có $a-2b=5\Leftrightarrow b=\dfrac{a-5}{2}\Rightarrow z=a+\dfrac{a-5}{2}i.$
Số phức $z$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;\dfrac{a-5}{2} \right).$
Giả sử:
${{z}_{1}}$ có điểm biểu diễn là $A$
$4{{z}_{2}}$ có điểm biểu diễn là $B$
Khi đó ta có:
Tập hợp các điểm $A$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 3;4 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=3.$
Tập hợp các điểm $B$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -4;-1 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=2.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=a \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{{{x}_{M}}-5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{M}}-2{{y}_{M}}-5=0 $ nên tập hợp các điểm $ M $ là đường thẳng $ \Delta :x-2y-5=0$
Ta có:
$P=\left| {{z}_{1}}-z \right|+\left| z-4{{z}_{2}} \right|$
$=MA+MB\ge M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}A+M{{I}_{2}}-{{I}_{2}}B$
$=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}-5$
Gọi ${{I}_{1}}'$ là điểm đối xứng với ${{I}_{1}}$ qua $\Delta .$
Vì ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'\bot \Delta $ nên phương trình đường thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'$ có dạng $2x+y+c=0$
${{I}_{1}}\left( 3;4 \right)\in {{I}_{1}}{{I}_{1}}'\Rightarrow 2.3+4+c=0\Leftrightarrow c=-10\Rightarrow \left( {{I}_{1}}{{I}_{1}}' \right):2x+y-10=0.$
Gọi $H={{I}_{1}}{{I}_{1}}'\cap \Delta \Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y-10=0 \\
& x-2y-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 5;0 \right).$
Vì $H$ là trung điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{1}}'$ nên ${{I}_{1}}'\left( 7;-4 \right).$
Vì ${{I}_{1}},{{I}_{1}}'$ đối xứng nhau qua $\Delta $ nên $M{{I}_{1}}=M{{I}_{1}}'$.
$\Rightarrow M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=M{{I}_{1}}'+M{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}'{{I}_{2}}=\sqrt{{{11}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{130}.$
Vậy $P\ge \sqrt{130}-5$ nên ${{P}_{\min }}=\sqrt{130}-5.$
Đáp án D.