Google
Câu hỏi: Biết rằng đường thẳng ${y=m-3x}$ cắt đồ thị (C): ${y=\dfrac{2x-1}{x-1}}$ tại 2 điểm phân biệt ${A}$ và ${B}$ sao cho trọng tâm ${G}$ của ${\Delta OAB}$ thuộc đồ thị ${(C)}$ với ${O\left( 0;0 \right)}$ là gốc tọa độ. Khi đó giá trị thực lớn nhất của tham số ${m}$ thuộc tập nào sao đây:
A. ${\left( -2;3 \right]}$.
B. ${\left( -\infty ;-5 \right]}$.
C. ${\left( -5;2 \right]}$.
D. ${\left( 3;+\infty \right)}$.
A. ${\left( -2;3 \right]}$.
B. ${\left( -\infty ;-5 \right]}$.
C. ${\left( -5;2 \right]}$.
D. ${\left( 3;+\infty \right)}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2.
$\dfrac{2x-1}{x-1}=m-3x\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-1=0\left( 1 \right)$ Do $x=1$ không phải là nghiệm của (1)
Đường thẳng $d:y=m-3x$ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow {{\Delta }_{\left( 1 \right)}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+13>0\left[ \begin{aligned}
& m>5+2\sqrt{3} \\
& m<5-2\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Ba điểm $A,B,O$ tạo thành tam giác $\Leftrightarrow O$ không trùng với A, B và $O\notin d\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( ** \right)$ Ta có :
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3}=\dfrac{m+1}{9} \\
& {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3}=\dfrac{5m-1}{9} \\
\end{aligned} \right.$
$G\in \left( C \right)\Leftrightarrow \dfrac{5m-1}{9}=\dfrac{2\left( \dfrac{m+1}{9} \right)}{\dfrac{m+1}{9}-1}\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-59m+71=0\left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{59+3\sqrt{229}}{10} \\
& m=\dfrac{59-3\sqrt{229}}{10} \\
\end{aligned} \right. $ ( thỏa $ \left( * \right) $ và$ \left( ** \right)$)
$\dfrac{2x-1}{x-1}=m-3x\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-1=0\left( 1 \right)$ Do $x=1$ không phải là nghiệm của (1)
Đường thẳng $d:y=m-3x$ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow {{\Delta }_{\left( 1 \right)}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+13>0\left[ \begin{aligned}
& m>5+2\sqrt{3} \\
& m<5-2\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Ba điểm $A,B,O$ tạo thành tam giác $\Leftrightarrow O$ không trùng với A, B và $O\notin d\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( ** \right)$ Ta có :
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3}=\dfrac{m+1}{9} \\
& {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3}=\dfrac{5m-1}{9} \\
\end{aligned} \right.$
$G\in \left( C \right)\Leftrightarrow \dfrac{5m-1}{9}=\dfrac{2\left( \dfrac{m+1}{9} \right)}{\dfrac{m+1}{9}-1}\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-59m+71=0\left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{59+3\sqrt{229}}{10} \\
& m=\dfrac{59-3\sqrt{229}}{10} \\
\end{aligned} \right. $ ( thỏa $ \left( * \right) $ và$ \left( ** \right)$)
Đáp án D.