Biết rằng đường thẳng $y=1-2x$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\dfrac{x-2}{x-1}=1-2x\Leftrightarrow x-2=\left( x-1 \right)\left( 1-2x \right)$
$\Leftrightarrow x-2=x-1-2{{x}^{2}}+2x\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x-1=0\left( * \right)$
Khi đó hoành độ của điểm A và B lần lượt là ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ là nghiệm của phương trình (*).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.$.
Ta có: $A\left( {{x}_{A}};1-2{{x}_{A}} \right);B\left( {{x}_{B}};1-2{{x}_{B}} \right)$ nên:
$A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( 1-2{{x}_{B}}-1+2{{x}_{A}} \right)}^{2}}$
$A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+4{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}$
$A{{B}^{2}}=5{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}$
$A{{B}^{2}}=5\left[ {{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-4{{x}_{A}}{{x}_{B}} \right]$
$A{{B}^{2}}=5\left[ {{1}^{2}}-4.\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right]=15$
Vậy $AB=\sqrt{15}$.