Google
Câu hỏi: Biết rằng có đúng một số phức $z$ thòa mãn $|z-2 i|=|z+2+4 i|$ vả $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo. Tính tổng phần thực và phần ảo của $z$
A. $4.$
B. $-4$.
C. $1$.
D. $-1$.
A. $4.$
B. $-4$.
C. $1$.
D. $-1$.
Giả sử $z=x+yi,\ \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
$|z-2i|=|\overline{z}+2+4i|\Leftrightarrow \left| x+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x+2+\left( -y+4 \right)i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( -y+4 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+4={{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}-8y+16\Leftrightarrow x=y-4$ (1).
$\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}=\dfrac{x+\left( y-1 \right)i}{x+\left( -y+1 \right)i}=\dfrac{\left[ x+\left( y-1 \right)i \right]\left[ x-\left( -y+1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}+mi$.
( Điều kiện ${{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}\ne 0$ ).
Do $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo $\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=0$ (2).
Thay (1) vào (2) ta được phương trình: ${{\left( y-4 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=0\Leftrightarrow -6y+15=0\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{2}$.
Thay $y=\dfrac{5}{2}$ vào (1) ta được $x=\dfrac{-3}{2}\Rightarrow x+y=\dfrac{-3}{2}+\dfrac{5}{2}=1$.
$|z-2i|=|\overline{z}+2+4i|\Leftrightarrow \left| x+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x+2+\left( -y+4 \right)i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( -y+4 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+4={{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}-8y+16\Leftrightarrow x=y-4$ (1).
$\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}=\dfrac{x+\left( y-1 \right)i}{x+\left( -y+1 \right)i}=\dfrac{\left[ x+\left( y-1 \right)i \right]\left[ x-\left( -y+1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}+mi$.
( Điều kiện ${{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}\ne 0$ ).
Do $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo $\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=0$ (2).
Thay (1) vào (2) ta được phương trình: ${{\left( y-4 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=0\Leftrightarrow -6y+15=0\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{2}$.
Thay $y=\dfrac{5}{2}$ vào (1) ta được $x=\dfrac{-3}{2}\Rightarrow x+y=\dfrac{-3}{2}+\dfrac{5}{2}=1$.
Đáp án C.