Google
Câu hỏi: Biết rằng có đúng một số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+2+4i \right|$ và $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo. Tính tổng phần thực và phần ảo của $z$.
A. $4$.
B. $-4$.
C. $-1$.
D. $1$.
A. $4$.
B. $-4$.
C. $-1$.
D. $1$.
Gọi $z=x+yi, (x,y\in \mathbb{R})$
Ta có: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+2+4i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( -y+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x-y+4=0$
$\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}=\dfrac{\left( x+yi-i \right)\left( x+yi-i \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}}+\dfrac{2x\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}}i$ như vậy $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0$
Từ ta suy ra $y=x+4$ thay vào ta được ${{x}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=x+3 \\
& x=-x-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$
Vậy $x+y=2x+4=1.$
Ta có: $\left| z-2i \right|=\left| \overline{z}+2+4i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( -y+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x-y+4=0$
$\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}=\dfrac{\left( x+yi-i \right)\left( x+yi-i \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}}+\dfrac{2x\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}}i$ như vậy $\dfrac{z-i}{\overline{z}+i}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0$
Từ ta suy ra $y=x+4$ thay vào ta được ${{x}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=x+3 \\
& x=-x-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$
Vậy $x+y=2x+4=1.$
Đáp án D.