Google
Câu hỏi: Biết phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2}}+15{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}={{2}^{x+3}}$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\log }_{a}}b>1,$ trong đó $a,b$ là các số nguyên tố, giá trị của biểu thức $2a+b$ là
A. 11.
B. 17.
C. 13.
D. 19.
A. 11.
B. 17.
C. 13.
D. 19.
Ta có: $\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( 3-\sqrt{5} \right)=4\Leftrightarrow \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=1\Leftrightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}.$
Chia hai vế của phương trình cho ${{2}^{x}}>0.$ Ta được ${{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+15{{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=8\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}>0\Rightarrow {{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}.\left( 1 \right)$ trở thành:
$t+\dfrac{15}{t}=8\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=5 \\
\end{aligned} \right.. $ Suy ra $ \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\log }_{3}}5>1.$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2a+b=11.$
Chia hai vế của phương trình cho ${{2}^{x}}>0.$ Ta được ${{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+15{{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=8\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}>0\Rightarrow {{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}.\left( 1 \right)$ trở thành:
$t+\dfrac{15}{t}=8\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=5 \\
\end{aligned} \right.. $ Suy ra $ \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\log }_{3}}5>1.$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2a+b=11.$
Đáp án A.