Google
Câu hỏi: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)=2$ có dạng $x=a+b\sqrt{3}$ ( $a,b$ là hai số nguyên). Giá trị của $a+b$ bằng:
A. 6
B. 4
C. 10
D. 2
A. 6
B. 4
C. 10
D. 2
Phương pháp:
- Đưa các logarit về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=b\Leftrightarrow f\left( x \right)={{a}^{b}}.$
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 2x-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}.$
Ta có:
${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}}{2x-1}=2$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2x-1}=4$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+4=0$
$\Leftrightarrow x=4\pm 2\sqrt{3}$
Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)=2$ là $x=4+2\sqrt{3}\Rightarrow a=4,b=2.$
Vậy $a+b=4+2=6.$
- Đưa các logarit về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=b\Leftrightarrow f\left( x \right)={{a}^{b}}.$
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 2x-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}.$
Ta có:
${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 2x-1 \right)=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}}{2x-1}=2$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2x-1}=4$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+4=0$
$\Leftrightarrow x=4\pm 2\sqrt{3}$
Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( 2x-1 \right)=2$ là $x=4+2\sqrt{3}\Rightarrow a=4,b=2.$
Vậy $a+b=4+2=6.$
Đáp án A.