Biết ${{\log }_{7}}12=a,{{\log }_{12}}24=b.$ Giá trị của ${{\log }_{54}}168$ được tính theo $a$ và $b$ là

Phương pháp:
- Sử dụng công thức ${{\log }_{a}}b=\dfrac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}.$
- Sử dụng các công thức ${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y,{{\log }_{a}}{{x}^{m}}=m{{\log }_{a}}x,$ biểu diễn $T$ theo ${{\log }_{7}}3$ và ${{\log }_{7}}2.$
- Từ giả thiết tính ${{\log }_{7}}3$ và ${{\log }_{7}}2$ theo $a,b$ sau đó thay vào tính $T.$
Cách giải:
Ta có $T={{\log }_{54}}168=\dfrac{{{\log }_{7}}168}{{{\log }_{7}}54}=\dfrac{{{\log }_{7}}\left( {{3.7.2}^{3}} \right)}{{{\log }_{7}}\left( {{2.3}^{3}} \right)}$
$\Rightarrow T=\dfrac{{{\log }_{7}}3+1+3{{\log }_{7}}2}{{{\log }_{7}}2+2{{\log }_{7}}3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{7}}12=a \\
& {{\log }_{12}}24=b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{\log }_{7}}3+2{{\log }_{7}}2 \\
& ab={{\log }_{7}}24=3{{\log }_{7}}2+{{\log }_{7}}3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{\log }_{7}}3+6{{\log }_{7}}2=3a \\
& 6{{\log }_{7}}2+2{{\log }_{7}}3=2ab \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{7}}3=3a-2ab \\
& {{\log }_{7}}2=ab-a \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $T=\dfrac{3a-2ab+1+3ab-3a}{ab-a+8a-6ab}=\dfrac{ab+1}{a\left( 8-5b \right)}.$