Google
Câu hỏi: Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình $3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1$. Tính K=5a+2b.
A. $K=\dfrac{1}{2}$.
B. $K=\dfrac{5}{2}$.
C. $K=3$.
D. $K=2$.
A. $K=\dfrac{1}{2}$.
B. $K=\dfrac{5}{2}$.
C. $K=3$.
D. $K=2$.
Ta có
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-\left( 1+m \right)x+2m-2{{m}^{2}}=0 \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}>0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
(2) có hai nghiệm là ${{x}_{1}}=2m ;{{x}_{2}}=1-m$
Từ điều kiện $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<0 \\
& m>\dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$
${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa (3) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}+2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}>0 \\
& {{\left( 1-m \right)}^{2}}+m\left( 1-m \right)-2{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& -1<m<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \left( ** \right)$
Từ (*) và (**) suy ra $-1<m<0$ hoặc $\dfrac{2}{5}<m<\dfrac{1}{2}$.
Vì khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m nên $\left( a;b \right)=\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $a=\dfrac{2}{5};b=\dfrac{1}{2}$. Vậy $K=5.\dfrac{2}{5}+2.\dfrac{1}{2}=3$.
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-\left( 1+m \right)x+2m-2{{m}^{2}}=0 \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}>0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
(2) có hai nghiệm là ${{x}_{1}}=2m ;{{x}_{2}}=1-m$
Từ điều kiện $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<0 \\
& m>\dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$
${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa (3) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}+2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}>0 \\
& {{\left( 1-m \right)}^{2}}+m\left( 1-m \right)-2{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& -1<m<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \left( ** \right)$
Từ (*) và (**) suy ra $-1<m<0$ hoặc $\dfrac{2}{5}<m<\dfrac{1}{2}$.
Vì khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m nên $\left( a;b \right)=\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $a=\dfrac{2}{5};b=\dfrac{1}{2}$. Vậy $K=5.\dfrac{2}{5}+2.\dfrac{1}{2}=3$.
Đáp án C.