Biết $\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{3}}\ln xdx}=\dfrac{3{{e}^{a}}+1}{b},$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv={{x}^{3}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{3}}\ln xdx}=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}\ln x\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{4}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{3}}dx}=\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}\ln x-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}} \right)\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.$
$=\left( \dfrac{1}{4}{{e}^{4}}-\dfrac{1}{16}{{e}^{4}} \right)-\left( -\dfrac{1}{16} \right)=\dfrac{3{{e}^{4}}+1}{16}.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=16 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ a.b=4.16=64.$