Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)dx}=a\ln 5+b\ln 3+c,$ trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ là

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \\
& dv=xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+9}dx \\
& v=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)dx}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+9}dx}=16\ln 5-I $ (với $ I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+9}dx}$).
Đặt $t={{x}^{2}}+9\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow xdx=\dfrac{1}{2}dt.$
Đổi cận: với $x=0\Rightarrow t=9,$ với $x=4\Rightarrow t=25.$
Khi đó $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\dfrac{t-9}{t}dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\left( 1-\dfrac{9}{t} \right)dt}=\dfrac{1}{2}\left( t-9\ln t \right)\left| \begin{aligned}
& 25 \\
& 9 \\
\end{aligned} \right.=8-9\ln 5+9\ln 3$
Suy ra $\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)dx}=16\ln 5-\left( 8-9\ln 5+9\ln 3 \right)=25\ln 5-9\ln 3-8.$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=25 \\
& b=-9 \\
& c=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=a+b+c=25-9-8=8.$