Biết $\int\limits_{0}^{2}{x\ln \left( {{x}^{2}}+4...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Biết

\int_{0}^{2} x \ln (x^{2} + 4) d x = a \ln 2 + b

(

a, b \in Z

). Giá trị của biểu thức

T = a b

là
A.

T = 8

.
B.

T = - 16

.
C.

T = - 8

.
D.

T = 16

.

Đặt

I = \int_{0}^{2} x \ln (x^{2} + 4) d x

Đặt

u = \ln (x^{2} + 4) \Rightarrow d u = \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x

d v = x d x \Rightarrow v = \frac{1}{2} (x^{2} + 4)

Từ đó suy ra

\begin{aligned} I = \frac{1}{2} (x^{2} + 4) \ln {(x^{2} + 4)}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{2} (x^{2} + 4) . \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x \\ = \frac{1}{2} .8 . \ln 8 - \frac{1}{2} .4 . \ln 4 - \int_{0}^{2} x d x \\ = 4 \ln 8 - 2 \ln 4 - 2 \\ = 4 \ln 2^{3} - 2 \ln 2^{2} - 2 \\ = 12 \ln 2 - 4 \ln 2 - 2 \\ = 8 \ln 2 - 2 \end{aligned}

Từ đó suy ra

a = 8

,

b = - 2

Vậy

T = 8 (- 2) = - 16

.

Đáp án B.