Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{0}^{2}{x\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)\text{d}x}=a\ln 2+b$ ( $a,b\in \mathbb{Z}$ ). Giá trị của biểu thức $T=ab$ là
A. $T=8$.
B. $T=-16$.
C. $T=-8$.
D. $T=16$.
A. $T=8$.
B. $T=-16$.
C. $T=-8$.
D. $T=16$.
Đặt $I=\int\limits_{0}^{2}{x\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)\text{d}x}$
Đặt $u=\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow \text{d}u=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+4}\text{d}x$
$\text{d}v=x\text{d}x\Rightarrow v=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
Từ đó suy ra
$\begin{aligned}
& I=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right).\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+4}}\text{d}x \\
& =\dfrac{1}{2}.8.\ln 8-\dfrac{1}{2}.4.\ln 4-\int\limits_{0}^{2}{x}\text{d}x \\
& =4\ln 8-2\ln 4-2 \\
& =4\ln {{2}^{3}}-2\ln {{2}^{2}}-2 \\
& =12\ln 2-4\ln 2-2 \\
& =8\ln 2-2 \\
\end{aligned}$
Từ đó suy ra $a=8$, $b=-2$
Vậy $T=8\left( -2 \right)=-16$.
Đặt $u=\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow \text{d}u=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+4}\text{d}x$
$\text{d}v=x\text{d}x\Rightarrow v=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
Từ đó suy ra
$\begin{aligned}
& I=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right).\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+4}}\text{d}x \\
& =\dfrac{1}{2}.8.\ln 8-\dfrac{1}{2}.4.\ln 4-\int\limits_{0}^{2}{x}\text{d}x \\
& =4\ln 8-2\ln 4-2 \\
& =4\ln {{2}^{3}}-2\ln {{2}^{2}}-2 \\
& =12\ln 2-4\ln 2-2 \\
& =8\ln 2-2 \\
\end{aligned}$
Từ đó suy ra $a=8$, $b=-2$
Vậy $T=8\left( -2 \right)=-16$.
Đáp án B.