Biết $\int\limits_{0}^{2}{2x\ln \left( x+1 \right)\text{d}x=a\ln...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Biết

\int_{0}^{2} 2 x \ln (x + 1) d x = a \ln b

, với

a, b \in N^{*}

. Tính

T = a + b

.
A.

T = 6

.
B.

T = 8

.
C.

T = 7

.
D.

T = 5

.

Đặt:

{\begin{matrix} u = \ln (x + 1) \\ d v = 2 x d x \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} d u = \frac{d x}{x + 1} \\ v = x^{2} \end{matrix}

\int_{0}^{2} 2 x \ln (x + 1) d x = {x^{2} \ln (x + 1) |}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^{2} d x}{x + 1} = {x^{2} \ln (x + 1) |}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (x - 1) d x - \int_{0}^{2} \frac{d x}{x + 1}

= 4 \ln 3 - {(\frac{x^{2}}{2} - x) |}_{0}^{2} - {\ln (x + 1) |}_{0}^{2} = 3 \ln 3

\Rightarrow {\begin{matrix} a = 3 \\ b = 3 \end{matrix} \Rightarrow T = a + b = 6

Đáp án A.