Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{0}^{2}{2x\ln \left( x+1 \right)}dx=a.\ln b$, với $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, $b$ là số nguyên tố. Tính $6a+7b$
A. $25$
B. $39$
C. $33$
D. $42$
A. $25$
B. $39$
C. $33$
D. $42$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \left( x+1 \right) \\
& dv=2x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x+1}dx \\
& v={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$. Ta có:
$\int\limits_{0}^{2}{2x\ln \left( x+1 \right)}dx=\left. {{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}dx}=4\ln 3-\int\limits_{0}^{2}{\left( x-1+\dfrac{1}{x+1} \right)dx}$
$=4\ln 3-\left. \left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{2}=4\ln 3-\ln 3=3\ln 3$
Vậy: $a=3,b=3$. Từ đó: $6a+7b=39$
& u=\ln \left( x+1 \right) \\
& dv=2x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x+1}dx \\
& v={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$. Ta có:
$\int\limits_{0}^{2}{2x\ln \left( x+1 \right)}dx=\left. {{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}dx}=4\ln 3-\int\limits_{0}^{2}{\left( x-1+\dfrac{1}{x+1} \right)dx}$
$=4\ln 3-\left. \left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{2}=4\ln 3-\ln 3=3\ln 3$
Vậy: $a=3,b=3$. Từ đó: $6a+7b=39$
Đáp án B.