Google
Câu hỏi: Biết $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2\ln x+1}{x{{\left( \ln x+1 \right)}^{2}}}dx=a\ln 2-\dfrac{b}{c}}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương $\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $a+b+c$.
A. $S=5.$
B. $S=3.$
C. $S=7.$
D. $S=10.$
A. $S=5.$
B. $S=3.$
C. $S=7.$
D. $S=10.$
Ta có: $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2\ln x+1}{x{{\left( \ln x+1 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $u=\ln x+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \ln x=u-1 \\
& \text{d}u=\dfrac{\text{d}x}{x} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi $x=1$ thì $u=1$
Khi $x=e$ thì $u=2$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{2u-1}{{{u}^{2}}}\text{d}u}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{2}{u}-\dfrac{1}{{{u}^{2}}} \right)\text{d}u}=\left. \left( 2\ln \left| u \right|+\dfrac{1}{u} \right) \right|_{1}^{2}=2\ln 2-\dfrac{1}{2}$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=5.$
Đặt $u=\ln x+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \ln x=u-1 \\
& \text{d}u=\dfrac{\text{d}x}{x} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi $x=1$ thì $u=1$
Khi $x=e$ thì $u=2$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{2u-1}{{{u}^{2}}}\text{d}u}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{2}{u}-\dfrac{1}{{{u}^{2}}} \right)\text{d}u}=\left. \left( 2\ln \left| u \right|+\dfrac{1}{u} \right) \right|_{1}^{2}=2\ln 2-\dfrac{1}{2}$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=5.$
Đáp án A.