Biết $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)dx=a\ln...

Phương pháp
Sử dụng phương pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân.
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}dx=a\ln 5+b\ln 3+c$
Đặt ${{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Leftrightarrow xdx=\dfrac{1}{2}dt$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=9 \\
& x=4\Rightarrow t=25 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\int\limits_{9}^{25}{\ln t.\dfrac{1}{2}}dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\operatorname{lntdt}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln t \\
& dv=dt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{t}dt \\
& v=t \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}\left[ t\ln t|_{9}^{25}-\int\limits_{9}^{25}{t.\dfrac{1}{t}dt} \right]=\dfrac{1}{2}\left( 25\ln 25-9\ln 9-t|_{9}^{25} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( 50\ln 5-18\ln 3-25+9 \right)=25\ln 5-9\ln 3-8$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=25 \\
& b=-9 \\
& x=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=a+b+c=25-9-8=8$