Google
Câu hỏi: Biết $I=2\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}}=\dfrac{a+b\sqrt{2}}{c}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$. Giá trị $a+b+c$ là
A. 7.
B. 9.
C. 13.
D. 17.
A. 7.
B. 9.
C. 13.
D. 17.
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow x={{t}^{2}}-1\Rightarrow dx=2tdt$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó
$I=4\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{{{t}^{3}}}tdt}=4\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-2+\dfrac{1}{{{t}^{2}}} \right)dt}=4\left. \left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-2t-\dfrac{1}{t} \right) \right|_{1}^{\sqrt{2}}=\dfrac{32-22\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $a+b+c=13$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó
$I=4\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{{{t}^{3}}}tdt}=4\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-2+\dfrac{1}{{{t}^{2}}} \right)dt}=4\left. \left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-2t-\dfrac{1}{t} \right) \right|_{1}^{\sqrt{2}}=\dfrac{32-22\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $a+b+c=13$.
Đáp án C.