Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2x\sqrt{1+\ln x}},\forall x\in \left( \dfrac{1}{e};+\infty \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)=2.$ Giá trị của $F\left( {{e}^{8}} \right)$ là
A. 3
B. 8
C. 9
D. 4
A. 3
B. 8
C. 9
D. 4
Ta có $I=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{2x\sqrt{1+\ln x}}.}$
Đặt $t=\sqrt{1+\ln x}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+\ln x\Rightarrow 2tdt=\dfrac{dx}{x}\Rightarrow tdt=\dfrac{dx}{2x}.$
Khi đó $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{tdt}{t}=\int\limits_{{}}^{{}}{dt}=t+C,}$ suy ra $F\left( x \right)=\sqrt{1+\ln x}+C.$
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=2\Leftrightarrow \sqrt{1+\ln 1}+C=2\Rightarrow C=1.$
Vậy $F\left( x \right)=\sqrt{1+\ln x}+1\Rightarrow F\left( {{e}^{8}} \right)=\sqrt{1+\ln {{e}^{8}}}+1=4.$
Đặt $t=\sqrt{1+\ln x}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+\ln x\Rightarrow 2tdt=\dfrac{dx}{x}\Rightarrow tdt=\dfrac{dx}{2x}.$
Khi đó $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{tdt}{t}=\int\limits_{{}}^{{}}{dt}=t+C,}$ suy ra $F\left( x \right)=\sqrt{1+\ln x}+C.$
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=2\Leftrightarrow \sqrt{1+\ln 1}+C=2\Rightarrow C=1.$
Vậy $F\left( x \right)=\sqrt{1+\ln x}+1\Rightarrow F\left( {{e}^{8}} \right)=\sqrt{1+\ln {{e}^{8}}}+1=4.$
Đáp án D.