Google
Câu hỏi: Biết đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( b,c\in \mathbb{R} \right)$ có điểm cực trị là $A\left( 1;0 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là parabol có đỉnh $I\left( 0;-1 \right)$ và đi qua điểm $B\left( 2;3 \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 3;4 \right)$.
B. $\left( 2;3 \right)$.
C. $\left( 1;2 \right)$.
D. $\left( 0;1 \right)$.
A. $\left( 3;4 \right)$.
B. $\left( 2;3 \right)$.
C. $\left( 1;2 \right)$.
D. $\left( 0;1 \right)$.
Ta có: $\left( P \right)$ là parabol có đỉnh $I\left( 0;-1 \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):y=a{{\left( x-0 \right)}^{2}}-1$
Mà $B\left( 2;3 \right)\in \left( P \right)$ nên $3=a{{\left( 2-0 \right)}^{2}}-1\Leftrightarrow a=1$ $\Rightarrow \left( P \right):y={{x}^{2}}-1$
Ta có: $\left( C \right)$ có điểm cực trị là $A\left( 1;0 \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+b+c=0 \\
& 4+2b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$ (kiểm tra lại thấy thỏa)
$\Rightarrow \left( C \right):f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ là: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow S=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{-1}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}$
$=\left| \int\limits_{-\sqrt{2}}^{-1}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|$ $\approx 2,54$
Mà $B\left( 2;3 \right)\in \left( P \right)$ nên $3=a{{\left( 2-0 \right)}^{2}}-1\Leftrightarrow a=1$ $\Rightarrow \left( P \right):y={{x}^{2}}-1$
Ta có: $\left( C \right)$ có điểm cực trị là $A\left( 1;0 \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+b+c=0 \\
& 4+2b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$ (kiểm tra lại thấy thỏa)
$\Rightarrow \left( C \right):f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ là: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow S=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{-1}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right|\text{d}x}$
$=\left| \int\limits_{-\sqrt{2}}^{-1}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x} \right|$ $\approx 2,54$
Đáp án B.