Google
Câu hỏi: Biết đồ thị hàm số ${y=-{{x}^{3}}+3x-1}$ tiếp xúc với đường thẳng ${y=ax+b}$ tại điểm có hoàng độ thuộc đoạn ${\left[ 0 ; 3 \right]}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${S=a+b}$ ?
A. ${{{S}_{\min }}=1}$.
B. ${{{S}_{\min }}=6}$.
C. ${{{S}_{\min }}=2}$.
D. ${{{S}_{\min }}=-29}$.
A. ${{{S}_{\min }}=1}$.
B. ${{{S}_{\min }}=6}$.
C. ${{{S}_{\min }}=2}$.
D. ${{{S}_{\min }}=-29}$.
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm :$\left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{3}}+3x-1=ax+b\left( 1 \right) \\
& -3{{x}^{2}}+3=a\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Thế (2) vào (1) ta có: $-{{x}^{3}}+3x-1=\left( -3{{x}^{2}}+3 \right)x+b\Leftrightarrow b=2{{x}^{3}}-1$
$S=a+b=-3{{x}^{2}}+3+2{{x}^{3}}12{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$
Xét hàm số $f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right].$
Ta có $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( 0 \right)=2;f\left( 1 \right)=1;f\left( 3 \right)=29.$
vậy ta có giá trị nhỏ nhất của $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)={{S}_{min}}=1.$
& -{{x}^{3}}+3x-1=ax+b\left( 1 \right) \\
& -3{{x}^{2}}+3=a\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Thế (2) vào (1) ta có: $-{{x}^{3}}+3x-1=\left( -3{{x}^{2}}+3 \right)x+b\Leftrightarrow b=2{{x}^{3}}-1$
$S=a+b=-3{{x}^{2}}+3+2{{x}^{3}}12{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$
Xét hàm số $f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right].$
Ta có $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( 0 \right)=2;f\left( 1 \right)=1;f\left( 3 \right)=29.$
vậy ta có giá trị nhỏ nhất của $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)={{S}_{min}}=1.$
Đáp án A.