Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{13x-9}{{{x}^{2}}+1}$ có hai điểm cực trị. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng đi qua hai...

Ta có: $y'=\dfrac{-13{{x}^{2}}+18x+13}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.$
Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$. Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $y'=0\Leftrightarrow -13{{x}^{2}}+18x+13=0.$
Mặt khác, ta có nếu $f\left( x \right)=\dfrac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)}\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{u'\left( x \right).v\left( x \right)-u\left( x \right).v'\left( x \right)}{{{v}^{2}}\left( x \right)}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Rightarrow u'\left( x \right).v\left( x \right)-u\left( x \right).v'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)}=\dfrac{u'\left( x \right)}{v'\left( x \right)}$
Có ${{y}_{CT}}=\dfrac{u\left( {{x}_{CT}} \right)}{v\left( {{x}_{CT}} \right)}=\dfrac{u'\left( {{x}_{CT}} \right)}{v'\left( {{x}_{CT}} \right)}$
Áp dụng lý thuyết trên ta có hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong $y=\dfrac{\left( 13x-9 \right)'}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)'}=\dfrac{13}{2x}.$
Do đó: ${{y}_{1}}=\dfrac{13}{2{{x}_{1}}}=\dfrac{13-\left( -13x_{1}^{2}+18{{x}_{1}}+13 \right)}{2{{x}_{1}}}=\dfrac{13x_{1}^{2}-18{{x}_{1}}}{2{{x}_{1}}}=\dfrac{13}{2}{{x}_{1}}-9$
Tương tự: ${{y}_{2}}=\dfrac{13}{2}{{x}_{2}}-9$
Nên $A,B$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):y=\dfrac{13}{2}x-9$ hay đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$ là $\left( d \right):y=\dfrac{13}{2}x-9\Leftrightarrow 13x-2y-18=0$
Vậy $d\left( O,AB \right)=\dfrac{\left| -18 \right|}{\sqrt{{{13}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{18}{\sqrt{173}}.$